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摘要 丢番图方程在数论中是一个重要的分支,具有丰富的内容,在数论、代数、组合数学中都有广泛的应用,其中,有许多实际问题的解决都将归结为求丢番图方程的整数解。然而,在求丢番图方程的解时经常会遇到许多困难,因此,本文以丢番图方程x2+y2=n作为研究对象,从以下三个部分进行研究: 一、给出丢番图方程x2+y2=n有解的充要条件,文中主要引用了相关文献中已经证明的定理和结论。 二、讨论了丢番图方程x2+y2=n的整数解问题,探讨了该方程的初等解法和高等解法,在研究的过程中发现两种新的求解方法——递降法和解析试验法。 三、考虑了关于丢番图方程x2+y2=n的应用问题,将发现的新求法应用在有关的数学奥赛题中。 关键词:丢番图方程;初等解法;高等解法;应用
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