摘要:留数在现代数学的应用中有着非常重要的作用，它将求解定积分值的方法推进到了一个新的阶段，通过函数的选取,积分路径的选取等等，求解出了许多被积函数的原函数解不出来的情况，成为了积分理论以后发展的奠基石。本文首先介绍了留数的背景及意义，留数的基本概念，几个基本定理及定理的推广，其次是留数在实积分、数列极限和级数求和中的应用。应用留数定理可以解决许多一般数学方法无法解决的问题。

关键词 留数； 留数基本定理； 数列极限； 级数求和

本文主要讲述如何运用留数的定义及定理来解决实积分的计算及数列极限的求法等。

应用留数定理将几种类型实积分的计算转化为复积分的计算，达到了化难为易、化繁为简的效果。本文有助于定积分计算思路的扩展，促进数学分支间的联系。

在微积分或数学分析中，不少积分（包括普通定积分与反常积分）的计算用微积分教材的知识很难解决或几乎无能为力。如果我们能结合其他数学分支的理论方法来讨论这类问题，却可能达到了化难为易、化繁为简的效果。本文主要利用复变函数中的留数定理，将实积分转换为复积分的方法，讨论了几类定积分的计算，还讲述了留数在求数列极限和级数和中的应用。通过对本篇论文的撰写发现留数在现代数学的应用广泛，并且有很大的发展空间和前景。