摘要：在求解微分方程的问题中，四阶Runge-Kutta法因其收敛、高精度、稳定（特定的条件下），在计算中可变其步长，无需计算其高阶导数等一系列优点脱颖而出。本文就灰色系统理论的核心内容灰色预测模型为出发点，因其基本思路就是利用GM（1,1）模型，将已知到的少量各项指标信息来进行数学建模，进而得到预测结果，所以考虑将GM（1,1）模型与四阶Runge-Kutta法结合，以提高其模拟精度。本文首先对四阶龙格库塔法和灰色预测模型GM（1,1）的基础理论进行探究，再将四阶龙格库塔法应用于优化GM（1,1）模型，以提高该模型的预测精度。其次，通过发展系数的特殊取值来进行模拟分析，得到的模拟误差来确定其模拟精度。最后，对成都市行政区域内水污染排放量进行了灰色预测建模，将预测数据与实际数据相对比，通过实际数据来验证四阶龙格库塔法的灰色优化模型具有较高的精度的结论，使得该模型拓展到更多实际的数学预测模型里，在实际的生态环境，工商农业等领域中得到了更广泛地使用。

关键词：四阶龙格库塔法；常微分方程；GM（1,1）。

目录

摘要

Abstract

1四阶Runge-Kutta的研究-1

1.1四阶Runge-Kutta法的基本理论原理-1

1.1.1基本的理论思想-1

1.1.2 理论中的标准形式-1

1.2四阶龙格库塔法的性质-2

1.2.1收敛性-2

1.2.2稳定性-2

1.2.3 步长的选取-3

2传统的GM(1，1)模型的建模原理-4

3基于四阶Runge-Kutta法的GM（1,1）建模过程-6

4 GM（1,1）模型优化分析及应用实例-8

4.1四阶龙格库塔法的GM（1,1）优化模型模拟误差分析-8

4.2四阶龙格库塔法的GM（1,1）优化模型应用实例-8

3.2.1作累加生成数列-9

3.2.2基于进行准光滑性检验-9

3.2.3检验是否具有准指数规律-10

3.2.4对模型进行精度检验-11

5 结论-12

参考文献-13

附录A -14