摘要：传染性疾病对人们的健康和人类社会的发展有着重要影响。数学模型是人们对疾病抗争的重要工具。基于复杂网络上的传播动力学问题是复杂网络研究领域的重要课题。基于复杂网络应用的广泛性，近几年来复杂网络拓扑结构研究的迅猛发展，复杂网络为研究现实复杂系统提供了一种强有力的描述方式。复杂网络的研究可以使人们更好的了解现实世界中的传染病动力学行为,对疾病的防治将提供更准确的依据和指南，从而设计更好的传染病控制方法。

本文讨论了一种基于异构网络具有免疫机制的SIRS流行病模型。通过构造合适的李亚普诺夫函数，研究了无病平衡点和流行病平衡点的全局稳定性。同时，我们研究了复杂网络中SIRS流行病模型的最优控制问题。我们证明了该控制问题的最优控制解的存在性。最后给出了一些数值模拟，说明了该最优控制问题的全局稳定性和有效性。这些结果有助于对疾病采取实际治疗措施，进而提供帮助。

关键词：复杂网络; 平衡点; 最优控制; SIRS模型

目录

摘要

Abstract

第一章 绪论-1

1.1流行病的起源-1

1.2 对抗流行病-1

1.3研究内容-1

1.4章节安排-1

第二章 基础知识-3

2.1 SI模型-3

2.2 SIS模型-4

2.3 SIR模型-6

2.4动力系统基本知识-7

2.4.1相空间-7

2.4.2奇点-7

2.5 最优控制-8

第三章 研究SIRS流行病模型的平衡点，全局稳定性及最优控制-10

3.1.介绍-10

3.2.全局稳定性-11

3.3 最优疫苗接种问题-12

3.4.数值实验-17

第四章 总结和展望-19

参考文献-20

致    谢-22