摘要：随着大数据时代的到来，现实中要处理的矩阵问题越来越复杂。而且在许多领域中，如在利用计算机计算各类问题时，由于计算精度所引起的舍入误差、实验室设备在测量数据时所引起的观测误差、输入数据引起的误差等会影响计算解的准确性，导致通常矩阵的特征值难以直接求出。但是本科数值分析教材中所介绍的矩阵计算方法无法规避这些误差，导致矩阵特征值及特征向量的精确度降低。

所以本文拟在教师的指导下，结合实际问题，在力所能及的条件下，主要研究Rayleigh商迭代法，目的是验证利用Rayleigh商改进后的幂法和反幂法确实要优于未改进的算法，收敛速度更快。本文首先给出了特征值和特征向量的定义和性质，然后又简单介绍了它们在数学中的应用；然后介绍对称矩阵的Rayleigh商以及其性质，通过Rayleigh商的残量最小性质来改进幂法和反幂法，加速其计算特征值和特征向量的收敛速度；最后通过编写Matlab程序进行了数值实验，数值实验的结果表明，利用Rayleigh商改进后的幂法和反幂法确实要优于未改进的算法，收敛速度更快，且具有较好的数值精度。

关键词：特征值；特征向量；Rayleigh商；幂法；反幂法；Rayleigh商迭代法

目录

摘要

Abstract

1. 引言-1

1.1 特征值与特征向量的定义-1

1.2 特征值与特征向量的性质-1

1.3 特征值与特征向量的应用-2

1.4 本文的工作-3

2. 幂法和反幂法-4

2.1幂法的基本原理-4

2.2幂法的算法步骤及收敛性-4

2.3反幂法的基本原理-5

2.4反幂法的算法步骤及收敛性-5

3. Rayleigh商迭代法-7

3.1 Rayleigh商的定义和性质-7

3.2 利用Rayleigh商加速幂法和反幂法-8

4. 数值算例-10

结  论-14

参 考 文 献-15

附  录-16

致  谢-24