摘要：矩阵的半正定性是高等代数课程里基本而重要的内容之一.在数学和现实生活中有着广泛的应用。因此，本文主要讨论实矩阵的半正定性。在谈论实矩阵半正定性时，首先简述半正定矩阵的定义，接着是半正定矩阵的判别方法和基本性质，最后举一些实例阐述半正定矩阵在不等式证明中的应用。

关键词：半正定二次型；  半正定矩阵；矩阵的秩； 不等式

Abstract：The semi-definite positive of real matrices is one of the basic and important content of advanced algebra, the semi-definite positive of real matrices used widely  in mathematics and real life. Therefore, this article focuses on the semi-definite positive of real matrices .In talking about the semi-definite positive of real matrices, the article gives the definition of semi-positive definite matrix firstly, followed by the discrimination method and the basic properties of semi-positive definite matrix, given some examples to elaborate the semi-positive definite matrix applications in the proof of inequality finally.

Key words：semi-positive definite  quadratic；semi-positive definite  matrix； rank of the matrix； inequality

　　随着实矩阵的正定性、半正定性等理论在许多学科得到广泛的应用，如被应用在信息论、控制论、线性系统论、数值分析、现代经济数学等众多学科，矩阵理论的正定性和半正定性的研究越来越显得非常重要。对于正定矩阵的性质在各类代数教材中对其都有极其详尽的论述，而对于半正定矩阵的性质尽管与正定矩阵的一些性质很相似，但是在各文献中大都一带而过或者只是从几个角度进行了简单的描述。因此笔者认为对于半正定矩阵的一些性质的研究是非常必要的。