摘要：在复变函数中，柯西-黎曼方程是判别函数解析的必要条件,同时也是复分析与偏微方程理论之间的一座桥梁.本文主要介绍柯西-黎曼方程的几种不同形式及其证明，并举例说明柯西-黎曼方程在函数解析性和调和函数等方面的一些应用.

关键词：柯西-黎曼方程；实形式；极坐标；调和函数

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摘要

ABSTRACT 

1. 引言-1

2. 柯西-黎曼方程的几种形式-1

2.1 解析函数与柯西-黎曼方程-1

2.2 柯西-黎曼方程的形式-2

2.2.1 柯西-黎曼方程的实形式-2

2.2.2 柯西-黎曼方程的极坐标形式-2

2.2.3 柯西-黎曼方程的复形式-2

2.2.4 柯西-黎曼方程的梯度形式-4

3. 柯西-黎曼方程的应用-4

3.1 柯西-黎曼方程在解析函数中的应用-4

3.1.1 柯西-黎曼方程判断函数的可微性-4

3.1.2 极坐标表示解析函数求导公式-6

3.2 柯西-黎曼方程在调和函数中的应用-7

4. 总结-9

参考文献-10