摘要:凸函数是一种性质特殊的函数，在数学中作为一个分支进行研究，在函数的研究领域中占有十分重要的地位.凸函数的研究方向越来越多，随着研究的深入，凸函数的定义也多种多样.许多不等式问题不能直接找到适合的凸函数进行分析，遇到这一类问题时，需要通过分析这一类题目共同特性与规律，构造适当的凸函数，再利用函数的凸性的定义以及几个等价的定义，将一些基本不等式，转化为研究函数的形态，让复杂的问题简单化，从而使不等式简化，进而得以证明.这些不等式的证明往往是以构造凸函数为突破，以此来研究凸函数的哪些性质可以用来证明不等式. 

本文首先对凸函数的定义进行整理归纳，然后对其不同定义之间的等价性进行研究，介绍了凸函数一些重要的性质和定理，以及这些等价定义的详细证明过程.其次，总结出一些与凸函数相关的重要不等式：Jeason不等式，霍德曼Hölde不等式，闵可夫斯基Minkowski不等式，并利用凸函数的性质来证明这些重要的不等式.最后，介绍了凸函数在不等式证明方面的应用，例如用凸函数性质来证明了一些初等不等式，积分不等式以及一些其他不等式，显示出凸函数在不等式证明中的重要作用.

关键词 凸函数；等价命题；Jeasen不等式；Hölde不等式；Minkowski不等式

目录

摘要

Abstract

1 绪论-1

1.1课题研究背景-1

1.2研究历史发展回顾-1

1.3本文主要研究方法-2

2凸函数的概念-3

2.1凸函数的等价定义-3

2.2凸函数的定理和性质-6

2.3小结-9

3凸函数与不等式-10

3.1与凸函数相关的重要不等式-10

3.2凸函数在初等不等式中应用-12

3.2.1根式不等式-12

3.2.2数列不等式-12

3.2.3三角函数不等式-13

3.3凸函数在积分不等式中的应用-13

3.4凸函数在其他不等式中的应用-14

3.5小结-17

结论-18

致谢-19

参考文献-20

附录-21