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摘要:凸函数是一种性质特殊的函数,在数学中作为一个分支进行研究,在函数的研究领域中占有十分重要的地位.凸函数的研究方向越来越多,随着研究的深入,凸函数的定义也多种多样.许多不等式问题不能直接找到适合的凸函数进行分析,遇到这一类问题时,需要通过分析这一类题目共同特性与规律,构造适当的凸函数,再利用函数的凸性的定义以及几个等价的定义,将一些基本不等式,转化为研究函数的形态,让复杂的问题简单化,从而使不等式简化,进而得以证明.这些不等式的证明往往是以构造凸函数为突破,以此来研究凸函数的哪些性质可以用来证明不等式. 本文首先对凸函数的定义进行整理归纳,然后对其不同定义之间的等价性进行研究,介绍了凸函数一些重要的性质和定理,以及这些等价定义的详细证明过程.其次,总结出一些与凸函数相关的重要不等式:Jeason不等式,霍德曼Hölde不等式,闵可夫斯基Minkowski不等式,并利用凸函数的性质来证明这些重要的不等式.最后,介绍了凸函数在不等式证明方面的应用,例如用凸函数性质来证明了一些初等不等式,积分不等式以及一些其他不等式,显示出凸函数在不等式证明中的重要作用.
关键词 凸函数;等价命题;Jeasen不等式;Hölde不等式;Minkowski不等式
目录 摘要 Abstract 1 绪论-1 1.1课题研究背景-1 1.2研究历史发展回顾-1 1.3本文主要研究方法-2 2凸函数的概念-3 2.1凸函数的等价定义-3 2.2凸函数的定理和性质-6 2.3小结-9 3凸函数与不等式-10 3.1与凸函数相关的重要不等式-10 3.2凸函数在初等不等式中应用-12 3.2.1根式不等式-12 3.2.2数列不等式-12 3.2.3三角函数不等式-13 3.3凸函数在积分不等式中的应用-13 3.4凸函数在其他不等式中的应用-14 3.5小结-17 结论-18 致谢-19 参考文献-20 附录-21 |