摘要： 不等式是数学学习中的一个极其重要的部分。从小学一年级最简单的数学学习开始，学生们就已逐渐接触不等式。从不等式的解法开始到不等式的证明，再到柯西不等式、均值不等式等重要不等式的应用，不等式贯穿于整个数学学习过程中。在历年的中考以及高考试题中关于不等式的题型屡见不鲜。在中学数学中不等式的证明方法有综合法、数学归纳法、构造法、反证法、比较法、分析法、换元法、放缩法等初等方法。而在高等数学中不等式的证明方法有利用函数最大值最小值、凹凸性、泰勒公式、单调性、微分中值定理等来证明或者发现不等式。不等式本身是比较抽象的，而且它对逻辑性的要求也比较高，另外它的证明非常灵活，证明方法多样化，但却没有固定的模式，因此对数学的发散思维和敏锐度要求也很高。教师们在解决不等式问题时要注意方式方法，讲究一题多解，在此过程中，不仅无形地培养了学生的探索精神，而且启发学生去创新，激发创造性思维，从而提高了学生的思维水平。 

 关键词：初等数学； 高等数学； 凹凸性；微分中值定理； 单调性； 最值和极值；泰勒公式；

目录

摘要

Abstract

1 引言-4

2 初等数学中常见的不等式证明方法-4

2.1 综合法-4

2.2 分析法-6

2.3  比较法-7

2.4 构造法-8

2.4.1 利用函数的单调性-8

2.4.2 构造复数利用复数向量有关性质-8

2.5 反证法-9

2.6 数学归纳法-10

2.7 换元法-12

2.7.1增量换元-12

2.7.2三角换元-13

2.7.3和差换元-14

2.7.4向量换元-14

2.7.5 利用对称性换元-15

2.7.6 代数换元-16

2.7.7 分式换元-16

2.7.8 比值换元法-17

2.8  放缩法-17

3 不等式的高等数学证明方法-19

3.1 利用函数凹凸性发现或者证明不等式-19

3.2 利用函数单调性发现或者证明不等式-20

3.3 利用函数的最大值最小值发现或者证明不等式。-22

3.4 利用微分中值定理发现或者证明不等式。-24

3.5 利用泰勒公式发现或者证明不等式。-28

结 束 语-31

参考文献-32

致谢-33