摘要：本文构造了一个新的变换，称之为变换，研究了自然数在此变换下的黑洞数问题.首先我们证明了：当时，任何位自然数经过若干次变换必可变为不超过3位的自然数，然后利用这个结论，我们找到了自然数在变换下的全部黑洞. 即任意自然数在变换下有且只有2个黑洞，分别是：，.

关键词：变换；黑洞；黑洞数

一个著名趣味数学的问题中曾提出一个神秘的数字——6174：采取任一一个4位数，但是组成这个四位数的数字不能完全相同，列出这四个数，并将数字按从大到小排列为一个升序和从小到大排列为一个降序，求出这个四位数的降和升序的差值（例如，最初给定的数是4083时，得出8430−0348 = 8082）. 将这个差值作为新的一个四位数进行上述的迭代过程。印度的一位数学家Kaprekar首先给出上述变换中差值的计算过程，并得出最多进行7次这个变换，就会出现一个四位数的迭代固定点，即6174. 6174这个数又被称为四位Kaprekar变换的黑洞数或四位Kaprekar常数[1].

这个奇妙的例子被刊登后，引起了多个大学的研究兴趣，包括著名大学伯克利和麻省理工学院. 受这个例子的启发，其中的一些作者开始采用不同的位数或不同的进位制，研究更广泛意义下的Kaprekar变换的黑洞数问题. 即一个进制位数被称为Kaprekar变换的黑洞数或Kaprekar常数，如果它是升序和降序的差运算过程（有时称为Kaprekar变换）得出的一个迭代固定点，和任意一个非平凡的位数，最终是通过上述迭代运算转化为一个固定点.

目录

摘要

Abstract

1. 引言及预备知识-4

1.1. 引言-4

1.2. 预备知识-7

2. 主要结果及证明-9

2.1. 一个重要的引理-9

2.2. 主要结果-9

参考文献-13

致谢-14