摘 要：母函数又称生成函数,它是在幂级数和多项式理论的基础上建立的. 本文给出了母函数的基本定义和性质，并对其在组合计数、递推关系、整数拆分、概率论等方面的应用做了相关介绍.

关键词：母函数，组合计数，递推关系，整数拆分

母函数分为普通型和指数型两种类型, 在当代数学理论中有着诸多应用. 它是解决组合学中计数问题的重要工具， 是解决递推数列通项问题的方法之一，同时也在程序编程、概率计算方面有着重要应用. 我们可以根据母函数的简单性质来研究未知数列的通项，进而推导数列的通项. 例如组合数学中的Fibonacci、Catalan数就可以通过母函数的方法得到. 由此我们可以看出母函数在我们的数学实践中有种广泛应用以及实际意义,合理地运用母函数及其思想，可以将数学上的很多难题有效的解决. 那么下面我们将从母函数的定义、性质与其具体应用三个方面进行论述.

目录

摘要

Abstract

1 前言-4

2 母函数的定义-4

3母函数的性质-5

4母函数的简单应用-6

4.1利用母函数证明组合恒等式-6

4.1.1一些常见序列的母函数-6

4.1.2利用母函数法证明组合恒等式的举例-6

4.2 母函数在递推关系上的应用-7

4.3 利用母函数进行整数的拆分-8

4.4 母函数在概率论上的应用-10

结   论-12

参考文献-13