摘要：复积分的计算在许多自然科学中有着重要的应用,它是研究复杂函数的重要工具,利用复积分也得到了复变函数的许多定理和性质.所以，复积分是贯穿复变函数分析过程的核心概念.本文主要讨论的是复变函数的计算积分方法.首先，引入复积分的概念，其次证明它是实积分在复域上的推广，然后介绍复积分中的Cauchy积分定理，它是基于C-R定理的解析条件, 其结果表明，解析函数在单连通区域的闭路积分等于0.之后引入Cauchy积分公式，这不但是留数定理的引理而且也是Cauchy积分定理基于C-R定理的一个解析条件.因此我们利用Cauchy积分定理，可以计算解析函数复路的积分，我们可以把复路的积分转化为简单路的积分.由于留数定理是由Cauchy积分定理和公式推广而来的,所以它是复变函数理论的重要组成部分.我们可以用留数定理来计算一些特殊实函数的定积分.基于Cauchy积分定理和留数定理等,在本文得出了复积分的计算和留数定理在实积分计算中的应用.

关键词：复变函数；积分计算；柯西积分定理；留数定理

目录

摘要

Abstract

1 绪论-1

1.1 课题的目的和意义-1

1.1.1 课题的目的-1

1.1.2 课题的意义-1

1.2 文献综述-1

1.2.1 复变函数产生的背景-1

1.2.2 柯西积分公式与留数定理-1

1.3 本领域存在的问题-1

1.4 本课题的主要研究内容-2

2 预备知识-2

2.1 复积分-2

2.2 柯西积分定理和柯西积分公式-3

2.3 洛朗级数-4

2.4 留数和留数定理-4

3 复变函数的积分计算方法-6

3.1 利用积分曲线的参数方程计算-6

3.2 利用柯西积分定理计算-7

3.3 用高阶导数公式计算-7

4 应用留数定理计算某些定积分-9

4.1 三角函数类的定积分-9

4.2 有理分式函数的广义积分-11

4.3 三角函数和分式函数复合函数的积分-13

4.4 利用广义留数定理计算定积分-14

结  论-17

参考文献-18