摘要: 在研究复变函数论时，解析函数是极为重要的研究对象.级数常常作为研究解析函数时使用到的重要工具，所以人们通常用级数来表示解析函数.这不仅在理论上让人通俗易懂，还能在运算中进行实际运用.用泰勒级数来表示圆形区域内的解析函数方法简单，运用方便.但对于有些特殊函数，如贝塞尔函数，以圆心为奇点，就不能在奇点领域内表成泰勒级数.此时，引入洛朗级数来表示挖去奇点的圆环内的解析函数就非常的有必要.本课题是在初步了解解析函数的基础上，对其若干的展式进行研究.目的是为了直观的了解泰勒展式与洛朗展式的区别，进而快速在两种展式中合理选取并运用以展开解析函数并探究其在奇点领域内的性质.通过对解析函数展开成幂级数方法的举例、分析和总结，在以后遇到此类问题时，应该从多方面考虑，选择最快捷和正确的方法来展开成幂级数.

关键词：解析函数；奇点；泰勒展式；洛朗展式

目录

摘要

Abstract

1 绪论-4

1.1 研究背景-4

1.2 研究目的-4

1.3 研究意义-4

2 解析函数-5

2.1解析函数的概念-5

2.2解析函数的性质-5

2.3解析函数的判定-7

3 解析函数的泰勒展开式-9

3.1泰勒定理-9

3.2泰勒展开的方法-9

3.3泰勒展式的应用-11

4 解析函数的洛朗展开式-13

4.1洛朗定理-13

4.2洛朗展开的方法-15

4.3洛朗展式的应用-15

5 泰勒展式与洛朗展式的关系-19

谢辞-20

参考文献-21