摘要：对于一个无穷项数列，一个基本又重要的问题是怎么研究它的收敛性。当数列收敛时，数列的取值情况比较直观易于观察。当数列发散时，数列的取值情况很难把握，通常情况运用子数列的方法对数列的取值情况进行部分的研究。当数列趋近于无穷大时，可以通过刻画数列取值的主项，对数列的取值情况进行研究.近些年来，国内有许多学者发表了关于数列收敛与发散证明方法的研究，并取得了一些成果。本文在对这些成果进行系统总结的基础上，简要评析了总体研究现状，并指出当前亟待进行深入研究的问题，以便于学者在该领域的进一步研究提供参考。

关键词：数列收敛；数列发散；证明方法。

目录

摘要

Abstract

1 绪论-3

1.1 研究背景-3

1.2 研究意义-3

1.3研究现状-3

2 数列的相关概念-5

2.1 数列极限概念-5

2.2 收敛数列的性质-5

2.3 数列极限存在的条件-6

3 数列收敛与发散的证明中常见方法小结-8

3.1利用数列收敛的定义-8

3.2 利用聚点的定义及相关性质-8

3.3 利用单调有界原理-11

3.4 利用柯西收敛准则-11

3.5利用迫敛性-13

3.6利用级数的收敛性-13

3.7反证法-14

4 数列收敛与发散的证明中特殊方法小结-15

4.1利用放缩法-15

4.2上下极限的方法-16

4.3四则运算法-17

4.4通过“数形结合”利用定义证明-18

4.5 分类讨论-23

4.6 数学归纳法证明-26

结语-28

谢辞-29

参考文献-30